Quadrant zur Messung irdischer Höhen mit Tangens und Cotangens /Gnomonik, Sonnenuhren

Diskutiere Quadrant zur Messung irdischer Höhen mit Tangens und Cotangens /Gnomonik, Sonnenuhren im Sonstige Uhren Forum im Bereich Uhren-Forum; Liebe Uhrenfreunde, weil ich mich auch mit Sonnenuhren beschäftige, möchte ich heute einmal ein Gerät vorstellen, das ich entworfen habe...
andi2

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Liebe Uhrenfreunde,

weil ich mich auch mit Sonnenuhren beschäftige, möchte ich heute einmal ein Gerät vorstellen, das ich entworfen habe.
Hoffentlich bekomme ich nicht die rote Karte, denn es handelt sich nicht um ein Gerät zur Zeitmessung, sondern zur Messung irdischer Höhen, also etwa eines Baumes, Gebäudes oder Berges.

Es gibt einen Bauplan zum Ausdrucken und eine Bau- und Nutzungsanleitung. Ihr könnt also selbst ein solches Gerät mit geringem Aufwand basteln.

Tangens.Quadrant.jpg

Das ist der Bauplan: Einfach das Bild auf den Computer runterladen und möglichst so ausdrucken, dass der Druckbereich einer DinA 4-Seite ganz ausgenutzt wird. Es wird besser, wenn man etwas dickeres Druckpapier (ca. 120g) verwendet.

Und hier die
Bauanleitung:

1. Drucke die Bauvorlage aus.

2. Laminiere die ausgedruckte Seite. Man kann den Quadranten auch aus unlaminiertem Papier bauen, aber er ist dann schmutzempfindlich.

3. Schneide den Quadranten und den Auffangschirm aus (blaue Flächen abschneiden).

4. Falte den Auffangschirm gemäss der Vorlage dreieckig zusammen und klebe gemäss Bild zusammen. Füge den Auffangschirm aber später nicht fest mit dem Quadranten zusammen. Er soll nur in den Ausschnitt eingesteckt werden. Der Auffangschirm wird nur bei einer Messung der Höhe der Sonne verwendet, um den Schatten der beiden Visier-Nadeln aufzufangen, damit man nicht direkt in die Sonne schauen muss. BITTE SCHAUE NICHT DIREKT IN DIE SONNE, DENN DIES FÜHRT ZU DAUERHAFTER SCHÄDIGUNG DES SEHVERMÖGENS! Bei Messungen von irdischen Höhen (Baum, Gebäude, Berg etc.) oder von Tiefen (Brunnen, Abgrund etc.) wird der Auffangschirm entfernt und direkt mit dem Auge über das Visier gepeilt.

5. Schneide dann den Umriss des Quadranten aus dickem Graukarton aus (etwa wie der Karton hinten auf einem Schul-Zeichenblock, der Karton sollte mindestens 2 mm Dicke haben). Dazu sollte ein scharfes Federmesser oder Teppichmesser und zur Führung ein Lineal verwendet werden. Scheren sind für diese Arbeit nicht gut geeignet. Statt des Kartons kann auch eine dünne Holzplatte zugeschnitten werden.

6. Klebe nun die laminierte und ausgeschnittenen Quadranten-Vorlage auf den Korpus aus Karton. Verwende einem wasserunlöslichen Klebstoff (Cementit, Uhu etc.). Wasserlösliche Klebstoffe und Klebstifte etc. sind nicht geeignet.

7. Mache ein Loch für den Lotfaden: Stanze es aus mit einer Gürtellochzange oder durchbohre den Karton mit einer festen Nadel.

8. Presse nun den Quadranten mehrere Stunden unter einem Stapel Bücher etc., bis der Klebstoff getrocknet ist, damit sich die Fläche beim Trocknen nicht wölbt, sondern ganz eben bleibt.

9. Schlage 2 Stecknadeln oder dünne und kurze Nägel als Visier («Kimme» und «Korn») ein, die Nägel können noch mit Klebstoff gesichert werden. Achte darauf, dass diese beiden Nägel bzw. Nadeln ganz gerade stehen. Falls die Nägel schief eingeschlagen werden, kommt es zu Ungenauigkeiten.

10. Ziehe einen festen, möglichst reissfesten Faden durch das Loch für den Lotfaden. Wenn du das Ende des Fadens durch den Karton gezogen hast, mache dort einen Knoten, der so gross ist, dass der Faden nicht wieder hindurchrutschen kann, oder befestige das Fadenende auf der Rückseite des Quadranten mit einem Stück Klebestreifen (‚Tesa‘), der Faden sollte nicht in das Loch eingeklebt werden. Der Faden soll vorn herunterhängen; miss nun die erforderliche Fadenlänge ab: Der Lotfaden soll vom Loch bis zur diagonal gegenüberliegenden Ecke des Quadranten reichen (dort wo die Formel steht). Messe etwas länger ab, denn du brauchst noch ein wenig Faden zur Befestigung eines Gewichtes (‚Blei‘) am Fadenende.

11. Befestige ein Gewicht am Ende des Lotfadens (z.B. eine durchbohrte Perle aus Stein oder Metall, eine Schraubenmutter etc, egal woraus es besteht, ein solches Gewicht am Lotfaden wird ‚Blei‘ genannt).
Der Quadrant ist nun fertig zur Benutzung.

Tangens.Quadrant.Aussehen.png
____________________________________________________

Es handelt sich um ein Winkelmessgerät zur Messung der Höhe über dem Horizont, ganz allgemein bezeichnet man so etwas als 'Höhenquadrant'.
Der Winkelmesser besteht aus einem Viertelkreis (deshalb der Name 'Quadrant'), eingeteilt in 90 Grad. Der Messbereich sind die 90 Grad des rechten Winkels zwischen der Horizontale bzw. Bodenebene (null Grad, beim Blick geradeaus) und der Vertikale beim Blick direkt nach oben zum Zenit (90 Grad).
Der Lotfaden mit dem 'Blei' daran, hängt immer gerade herunter und zeigt die Vertikale an.
Als Visier zum Peilen dienen zwei Nägel. Der Kippwinkel des Quadranten, bzw. der Peilwinkel wird durch den Lotfaden auf dem Diagramm dargestellt.
Im weissen Bereich stehen die Grad, auch in 5-Grad- und 10-Grad-Gruppen zusammengefasst zur leichteren Ablesung. Der Winkel kann auf 0,1 Grad genau gemessen werden: Im hellgrünen Bereich ist jedes Grad von aussen nach innen um je 0,1 Grad weiter versetzt. Man liest in dem Breich ab, der am genauesten mit dem Lotfaden übereinstimmt.
Diese Darstellung zur Erhöhung der Ablesegenauigkeit nennt man allgemein eine 'Transversalteilung'; sie ist viel älter als der heute gebräuchliche 'Nonius', bzw. die 'Vernier-Skala', die man z.B. auf einer Schieblehre zur Messung von Uhren findet. Die möglicherweise erste Beschreibung einer Transversalteilung für Winkel stammt von Jacob ibn Tibbon (1288). Eine solche Darstellung zur Messung von Zehntelgrad wurde z.B. von Peter Apian in seinem 'Instrumentbuch' von 1534 verwendet.

Weiter innen befindet sich das quadratische Diagramm für den Tangens und Cotangens, das im Mittelalter auf quasi jedem Messquadranten und Astrolabium zu finden war und damals 'Schattenquadrat' genannt wurde. Der Tangens hiess im Mittelalter noch 'Umbra versa' (aufrechter Schatten), der Cotangens hiess 'Umbra recta' (gerader Schatten).
Ich habe das traditionelle 'Schattenquadrat dadurch verbessert, dass ich ganz innen eine Skala für Tangens und Cotangens grösser 1 hinzugefügt habe. Diese Darstellung ist fast nie auf historischen Geräten verwirklicht, ich kenne sie aus einer sehr alten Abhandlung über Astrolabien von Al-Khwarizmi aus dem 9. Jahrhundert, zitiert im Buch "The Astrolabe" von James E. Morrison.

Tangens.Quadrant.Messanleitung1.jpg


Tangens.Quadrant.Messbeispiel.png


Das Verhältnis von Tangens und Cotangens wurde beschrieben als das Längenverhältnis von Schattenwerfer und Schatten bei einer bestimmten Sonnenhöhe. Der Winkel von 45 Grad teilt das Quadrat in zwei gleiche Hälften, bei diesem Winkel sind Tangens und Cotangens gleich 1. Ein Schatten ist genau so lang wie der Schattenwerfer, wenn die Sonne 45 Grad hoch steht; wenn ich eine Turmspitze mit 45 Grad über das Visier des Quadranten anpeile, so entspricht mein Abstand vom Turm genau der Turmhöhe von meiner Augenhöhe bis zur Spitze.
Bei einer Sonnenhöhe von 26,6° ist der Schatten, den ein Turm wirft doppelt so lang wie der Turm hoch ist (Cotangens 26,6° = 2), anders gesagt: dier Turm ist halb so hoch, wie sein Schatten lang ist (Tangens 26,6 = 0,5).


Tangens.Quadrant.45GradMethode.jpg


Man kann die Höhe eines Gebäudes auch leicht aus der Länge des Schattens ermitteln, vorausgesetzt der Boden ist am Fuss des Gebäudes wirklich eben. Bei Unebenheit des Geländes funktioniert die Schattenmethode nicht.
Man geht so vor: Man geht an der Schattenkante des Turmes entlang bis zur Schattenspitze. diese Stelle markiert man und man misst möglichst gleichzeitig die Höhe der Sonne.
Der Turm ist dann so hoch wie...
a) der Abstand vom Turm multipliziert mit dem Tangens
b) der Abstand vom Turm dividiert durch den Cotangens.

Bei einer Messung der Sonnenhöhe peilt man die Sonne nicht direkt mit dem Auge an. Das hat man auch schon im Mittelalter nicht so gemacht, sondern man fängt den Schatten der Peilnadeln des Visiers auf dem Auffangschirm auf:


Tangens.Quadrant.Sonnenmessung.jpg


So, das war es erstmal. Hoffentlich gibt es ein paar Interessenten für das ungewöhnliche Thema.

Falls es tatsächlich ein wenig Zuspruch gibt, poste ich gern auch noch einem von mir entworfenen Quadranten zur Stundenmessung mit Hilfe der Sonne bei Tag und der Sterne bei Nacht, quasi die Taschenuhr des Mittelalters

Gruss Andi

--- Nachträglich hinzugefügt ---

Historische Beispiele für ähnliche Messquadranten

Das erste Beispiel zeigt einen Quadranten aus Messing von etwa 1400 aus dem 'British Museum'. Durch Anklicken kann das Bild vergrössert werden.

http://www.britishmuseum.org/research/collection_online/collection_object_details.aspx?objectId=55090&partId=1

Der Quadrant ist ein Stundenquadrant zur Zeitmessung und zur Messung irdischer Höhen mit dem Schattenquadrat.
Auf dem Bogen ganz aussen befindet sich eine Skala der Grade, auf dem weiter innen liegenden Bogen sind die Stunden angeschrieben. Die Kurven auf der Scheibe sind die Stundenlinien der heute gebräuchlichen Äquatorial-Stunden.

Das Schattenquadrat zeigt als waagrechte Seite den Tangens (Umbra versa) und als senkrechte Seite den Cotangens (Umbra recta). Beide sind nach der im Mittelalter üblichen Weise in je 12 Teile eingeteilt. Eine dezimale Teilung in 10 oder 100 Teile setzte sich erst in der Renaissance allmählich durch. Bei dieser Darstellung kann man den Tangens nur bis 1 messen, also bei Winkeln bis 45 Grad, über 45 Grad wird der Tangens nicht angezeigt. Den Cotangens (bis 1) misst man nur bei Winkeln über 45 Grad, bei Winkeln kleiner als 45 Grad ist der Cotangens nicht angezeigt.

Im Vergleich zu meinem Instrument, auf dem man für jeden Winkel des Messbereichs sowohl den Tangens, als auch den Cotangens misst, ist das etwas umständlicher, denn mit dem Tangens multipliziert man den Abstand vom gemessenen Objekt (z.B. Turm), verwendet man den Cotangens, muss der Abstand durch diesen dividiert werden. Hat man nun beispielsweise einen Abstand von 50m durch Abmessen festgelegt, ist die Berechnung mit dem Tangens einfach. Beträgt der Tangens beispielsweise 0,43, so ist der Turm 0,43 mal so hoch wie der Abstand vom Turm (Verhältnis 1 : 0,43). In Metern: 50 m x 0,43 = 21,5 m ist die Turmhöhe. Das rechnet sich noch bequem im Kopf.
Hätte man einen Cotangens von 0,43 und müsste eine Strecke durch 0,43 teilen, so wäre das weniger komfortabel.

Das zweite Beispiel zeigt einen sogenannten 'Quadrans vetus' zur Messung der ungleichen Stunden (Biblische Stunden, Jüdische Stunden, Horae temporalis)aus dem Buch "Ein wolgegrundets kunstreichs sumarii büchlein aller sonnen uhr" (Strasbourg, 1539)
http://www.hps.cam.ac.uk/starry/sacrosundlrg.jpg
Aussen, zwischen dem Quadranten mit der Gradskala und dem Diagramm mit den ungleichen Stunden-Linien und dem Schattenquadrat gibt es ein verschiebbares 'Landtäfelchen' mit der Sonnendeklination der Kalenderdaten, wodurch die Zeitmessung an alle geographischen Breiten zwischen 23,5° (Wendekreis, Grenze der Tropen) und 66,5° (Polarkreis) angepasst werden konnte.

--- Nachträglich hinzugefügt ---

Hier noch ein 'Landvermesserquadrant' von Johannes Gaupp aus seinen "Tabulae gnomonicae" (1708-1720), dem Tafelwerk zum Buch "Gnomonica mechanica universalis".
Der Quadrant hat ganz aussen das Schattenquadrat mit Tangens (Umbra versa) und Cotangens (Umbra recta), sehr fein aufgeteilt jeweils in 1000 Teile. Weiter innen steht der Winkelquadrant und ganz innen gibt es für vier verschiedene Breiten ein Diagramm zur Zeitmessung nach dem Prinzip des 'Horarium bilimbatum' mit geraden Stundenlinien.
Zur Erhöhung der Messgenauigkeit gibt es sowohl für die Winkel, als auch für Tangens und Cotangens eine Transversalteilung wie auf meinem Quadranten. Wie üblich sind Tangens und Cotangens nur bis zum Wert '1' angezeigt.

Gaupp.Quadrant.jpg

Ich weiss übrigens nicht, warum unten zwei Bilder, die ich weiter oben eingefügt habe, noch einmal als 'angehängte Miniaturansichten' zu sehen sind. Leider kann ich das nicht löschen...
 

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Noch als Nachtrag:

Das oben abgebildete Gerät von Johannes Gaupp (1708-1720) basiert auf dem 'Polymetrum' von Gottfried Behm von 1672, das fast identisch aussah. Auch Behm publizierte in seinem Buch, wie später Johannes Gaupp, einen Druck, der auf eine Platte aufgezogen und zu einem funktionsfähigen Gerät ausgebaut werden konnte:
Objekt des Monats, März 2010

P.S.: Die Druckqualität meiner Bauvorlage ist nicht so gut wie der Entwurf, weil ich das Bild zuerst zu einer Bitmap konvertieren musste und die Bitmap dann zu einem PNG (portable network graphic). Falls jemand den Quadranten bauen will und mir eine PM schickt, bekommt er von mir gerne ein PDF, das eine bessere Qualität hat, oder das Bild als Powerpoint-Präsentation. Der Quadrant wurde von mir mit Hilfe der Office-Programme Excel, Paint und Powerpoint erstellt und das Layout in Powerpoint fertiggestellt.

Gruss Andi
 
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